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快速傅里叶变换本章目录直接计算DFT的问题及改进的途径按时间抽取的基2-FFT算法
Matlab实现2本章目录直接计算DFT的问题及改进的途径按时间抽取的基2-F5.1引言
DFT在实际应用中很重要:可以计算信号的频谱、功率谱和线性卷积等。直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很大时，计算量非常大，所需时间会很长。FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是DFT的一种快速计算的算法。
35.1引言DFT在实际应用中很重要:可以计算信号的频谱5.2直接计算DFT的问题及改进的途径
设复序列x(n)长度为N点，其DFT为k=0，，…，N-1（1）计算一个X(k)值的运算量复数乘法次数：N复数加法次数：N－145.2直接计算DFT的问题及改进的途径DFT的运算量设5.2.1DFT的运算量（2）计算全部N个X(k)值的运算量复数乘法次数：N2复数加法次数：N(N－1)（3）对应的实数运算量55.2.1DFT的运算量（2）计算全部N个X(k)值的运一次复数乘法：4次实数乘法2次实数加法＋一个X(k)：4N次实数乘法＋2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法所以整个N点DFT运算共需要：N×2(2N-1)=2N(2N-1)实数乘法次数：4N2实数加法次数：6一次复数乘法：4次实数乘法2次实数加法＋一个X(k)DFT运算量的结论N点DFT的复数乘法次数举例NN2NN76结论：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算方法，以大大减少运算次数。7DFT运算量的结论N点DFT的复数乘法次数举例NN2NN22
主要原理是利用系数的以下特性对DFT进行分解：（1）对称性（2）周期性（3）可约性另外，85.2.2减少运算工作量的途径主要原理是利用系数5.3按时间抽取的基2-FFT算法
算法原理按时间抽取基-2FFT算法与直接计算DFT运算量的比较按时间抽取的FFT算法的特点按时间抽取FFT算法的其它形式流程图95.3按时间抽取的基2-FFT算法算法原理95.3.1算法原理
r=0，1，…，则105.3.1算法原理设N＝2L，将x(n)按n的奇偶分式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。另外，式中k的取值范围是：0，1，…，N/2－1。11式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N因此，只能计算出X(k)的前一半值。后一半X(k)值，N/2，N/2＋1，…，N？利用可得到同理可得12因此，考虑到因此可得后半部分X(k)及前半部分X(k)k=0，1，…，N/2－1k=0，1，…，N/2－113考虑到因此可得后半部分X(k)及前半部分X(k)k=蝶形运算蝶形运算式蝶形运算信号流图符号因此，只要求出2个N/2点的DFT，即X1(k)和X2(k)，再经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。14蝶形运算蝶形运算式蝶形运算信号流图符号因此以8点为例第一次按奇偶分解以N=8为例，分解为2个4点的DFT，然后做8/2=4次蝶形运算即可求出所有8点X(k)的值。15以8点为例第一次按奇偶分解以N=8为例，分解为2个4点的DF蝶形运算量比较复数乘法次数：
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋N/2蝶形：因此通过一次分解后，运算工作量减少了差不多一半。
16蝶形运算量比较复数乘法次数：N2复数加法次数：N(N－1进一步按奇偶分解由于N＝2L，因而N/2仍是偶数，可以进一步把每个N/2点子序列再按其奇偶部分分解为两个N/4点的子序列。以N/2点序列x1(r)为例
17进一步按奇偶分解由于N＝2L，因而N/2仍是且k=0,1,…,由此可见，一个N/2点DFT可分解成两个N/4点DFT。同理，也可对x2(n)进行同样的分解，求出X2(k)。18且k=0,1,…,由此可见，一个N/2点DFT可分解成两个以8点为例第二次按奇偶分解19以8点为例第二次按奇偶分解19算法原理对此例N=8，最后剩下的是4个N/4=2点的DFT，2点DFT也可以由蝶形运算来完成。以X3(k)为例。k=0,1即这说明，N=2M的DFT可全部由蝶形运算来完成。20算法原理对此例N=8，最后剩下的是4个N/4以8点为例第三次按奇偶分解N=8按时间抽取法FFT信号流图21以8点为例第三次按奇偶分解N=8按时间抽取法FFT信号流图5.3.2按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
N2N(N－1)直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为M23这样级运算总共需要：L复数乘法：复FFT算法与直接DFT算法运算量的比较NN2计算量之比MNN2计算量之比M2414.836.641644..0864125.13.816256328.0204..64372.1.424FFT算法与直接DFT算法运算量的比较NN2计算量之比M5.3.3按时间抽取的FFT算法的特点序列的逆序排列同址运算（原位运算）蝶形运算两节点间的距离的确定255.3.3按时间抽取的FFT算法的特点序列的逆序排列25序列的逆序排列由于x(n)被反复地按奇、偶分组，所以流图输入端的排列不再是顺序的，但仍有规律可循：因为N=2M，对于任意n（0≤n≤N-1)，可以用M个二进制码表示为：
n反复按奇、偶分解时，即按二进制码的“0”“1”分解。序列的逆序排列26序列的逆序排列由于x(n)被反复地按奇倒位序的树状图（N=8）
自然顺序n二进制数倒位序二进制数倒位序顺序数111728码位的倒位序(N=8)自然顺序n二进制数倒位序二进制数倒倒位序的变址处理（N=8）29倒位序的变址处理（N=8）29同址运算（原位运算）某一列任何两个节点k和j的节点变量进行蝶形运算后，得到结果为下一列k、j两节点的节点变量，而和其他节点变量无关。这种原位运算结构可以节省存储单元，降低设备成本。运算前运算后例同址运算（原位运算）30同址运算（原位运算）某一列任何两个节点k和观察原位运算规律31观察原位运算规律31蝶形运算两节点间的距离
以N=8为例：第一级蝶形，距离为：第二级蝶形，距离为：第三级蝶形，距离为：规律：对于共L级的蝶形而言，其m级蝶形运算的节点间的距离为124蝶形运算两节点间的距离
算法原理再把输出X(k)按k的奇偶分组先把输入按n的顺序分成前后两半设序列长度为N=2L，L为整数前半子序列x(n)后半子序列
0≤n≤0≤n≤345.4按频率抽取的基2-FFT算法算法原理再把输出X(5.4.1算法原理由DFT定义得k=0，1，…，N355.4.1算法原理由DFT定义得k=0，1，…，N35由于所以则k=0，1，…，N36由于所以则k=0，1，…，N36然后按k的奇偶可将X(k)分为两部分r=0，1，…，则式可转化为37然后按k的奇偶可将X(k)分为两部分r=0，1，…，则式令n=0，1，…，代入r=0，1，…，可得为2个N/2点的DFT，合起来正好是N点X(k)的值。38令n=0，1，…，代入r=0，1，…，可得为2个N/蝶形运算将称为蝶形运算与时间抽选基2FFT算法中的蝶形运算符号略有不同。39蝶形运算将称为蝶形运算与时间抽选基2FFT算法中的蝶形运算符例按频率抽取(N=8)
例按频率抽取，将N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合(N=8)40例按频率抽取(N=8)例按频率抽取，将N点DFT分与时间抽取法的推导过程一样，由于N=2L，N/2仍然是一个偶数，因而可以将每个N/2点DFT的输出再分解为偶数组与奇数组，这就将N/2点DFT进一步分解为两个N/4点DFT。N=841与时间抽取法的推导过程一样，由于N=2L，5.4.2频率抽取法与时间抽取法的异同
频率抽取法输入是自然顺序，输出是倒位序的；时间抽取法正好相反。频率抽取法的基本蝶形与时间抽取法的基本蝶形有所不同。频率抽取法运算量与时间抽取法相同。频率抽取法与时间抽取法的基本蝶形是互为转置的。
425.4.2频率抽取法与时间抽取法的异同频率抽取法输入是自5.5快速傅里叶逆变换(IFFT)算法IDFT公式DFT公式比较可以看出，IDFT多出M个1/2可分解到M级蝶形运算中。435.5快速傅里叶逆变换(IFFT)算法IDFT公式DFT例频率抽取IFFT流图(N=8)
快速傅里叶变换本章目录直接计算DFT的问题及改进的途径按时间抽取的基2-FFT算法
Matlab实现55本章目录直接计算DFT的问题及改进的途径按时间抽取的基2-F5.1引言
DFT在实际应用中很重要:可以计算信号的频谱、功率谱和线性卷积等。直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很大时，计算量非常大，所需时间会很长。FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是DFT的一种快速计算的算法。
565.1引言DFT在实际应用中很重要:可以计算信号的频谱5.2直接计算DFT的问题及改进的途径
设复序列x(n)长度为N点，其DFT为k=0，，…，N-1（1）计算一个X(k)值的运算量复数乘法次数：N复数加法次数：N－1575.2直接计算DFT的问题及改进的途径DFT的运算量设5.2.1DFT的运算量（2）计算全部N个X(k)值的运算量复数乘法次数：N2复数加法次数：N(N－1)（3）对应的实数运算量585.2.1DFT的运算量（2）计算全部N个X(k)值的运一次复数乘法：4次实数乘法2次实数加法＋一个X(k)：4N次实数乘法＋2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法所以整个N点DFT运算共需要：N×2(2N-1)=2N(2N-1)实数乘法次数：4N2实数加法次数：59一次复数乘法：4次实数乘法2次实数加法＋一个X(k)DFT运算量的结论N点DFT的复数乘法次数举例NN2NN76结论：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算方法，以大大减少运算次数。60DFT运算量的结论N点DFT的复数乘法次数举例NN2NN22
主要原理是利用系数的以下特性对DFT进行分解：（1）对称性（2）周期性（3）可约性另外，615.2.2减少运算工作量的途径主要原理是利用系数5.3按时间抽取的基2-FFT算法
算法原理按时间抽取基-2FFT算法与直接计算DFT运算量的比较按时间抽取的FFT算法的特点按时间抽取FFT算法的其它形式流程图625.3按时间抽取的基2-FFT算法算法原理95.3.1算法原理
r=0，1，…，则635.3.1算法原理设N＝2L，将x(n)按n的奇偶分式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。另外，式中k的取值范围是：0，1，…，N/2－1。64式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N因此，只能计算出X(k)的前一半值。后一半X(k)值，N/2，N/2＋1，…，N？利用可得到同理可得65因此，考虑到因此可得后半部分X(k)及前半部分X(k)k=0，1，…，N/2－1k=0，1，…，N/2－166考虑到因此可得后半部分X(k)及前半部分X(k)k=蝶形运算蝶形运算式蝶形运算信号流图符号因此，只要求出2个N/2点的DFT，即X1(k)和X2(k)，再经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。67蝶形运算蝶形运算式蝶形运算信号流图符号因此以8点为例第一次按奇偶分解以N=8为例，分解为2个4点的DFT，然后做8/2=4次蝶形运算即可求出所有8点X(k)的值。68以8点为例第一次按奇偶分解以N=8为例，分解为2个4点的DF蝶形运算量比较复数乘法次数：
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋N/2蝶形：因此通过一次分解后，运算工作量减少了差不多一半。
69蝶形运算量比较复数乘法次数：N2复数加法次数：N(N－1进一步按奇偶分解由于N＝2L，因而N/2仍是偶数，可以进一步把每个N/2点子序列再按其奇偶部分分解为两个N/4点的子序列。以N/2点序列x1(r)为例
70进一步按奇偶分解由于N＝2L，因而N/2仍是且k=0,1,…,由此可见，一个N/2点DFT可分解成两个N/4点DFT。同理，也可对x2(n)进行同样的分解，求出X2(k)。71且k=0,1,…,由此可见，一个N/2点DFT可分解成两个以8点为例第二次按奇偶分解72以8点为例第二次按奇偶分解19算法原理对此例N=8，最后剩下的是4个N/4=2点的DFT，2点DFT也可以由蝶形运算来完成。以X3(k)为例。k=0,1即这说明，N=2M的DFT可全部由蝶形运算来完成。73算法原理对此例N=8，最后剩下的是4个N/4以8点为例第三次按奇偶分解N=8按时间抽取法FFT信号流图74以8点为例第三次按奇偶分解N=8按时间抽取法FFT信号流图5.3.2按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
N2N(N－1)直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为M76这样级运算总共需要：L复数乘法：复FFT算法与直接DFT算法运算量的比较NN2计算量之比MNN2计算量之比M2414.836.641644..0864125.13.816256328.0204..64372.1.477FFT算法与直接DFT算法运算量的比较NN2计算量之比M5.3.3按时间抽取的FFT算法的特点序列的逆序排列同址运算（原位运算）蝶形运算两节点间的距离的确定785.3.3按时间抽取的FFT算法的特点序列的逆序排列25序列的逆序排列由于x(n)被反复地按奇、偶分组，所以流图输入端的排列不再是顺序的，但仍有规律可循：因为N=2M，对于任意n（0≤n≤N-1)，可以用M个二进制码表示为：
n反复按奇、偶分解时，即按二进制码的“0”“1”分解。序列的逆序排列79序列的逆序排列由于x(n)被反复地按奇倒位序的树状图（N=8）
自然顺序n二进制数倒位序二进制数倒位序顺序数111781码位的倒位序(N=8)自然顺序n二进制数倒位序二进制数倒倒位序的变址处理（N=8）82倒位序的变址处理（N=8）29同址运算（原位运算）某一列任何两个节点k和j的节点变量进行蝶形运算后，得到结果为下一列k、j两节点的节点变量，而和其他节点变量无关。这种原位运算结构可以节省存储单元，降低设备成本。运算前运算后例同址运算（原位运算）83同址运算（原位运算）某一列任何两个节点k和观察原位运算规律84观察原位运算规律31蝶形运算两节点间的距离
以N=8为例：第一级蝶形，距离为：第二级蝶形，距离为：第三级蝶形，距离为：规律：对于共L级的蝶形而言，其m级蝶形运算的节点间的距离为124蝶形运算两节点间的距离
算法原理再把输出X(k)按k的奇偶分组先把输入按n的顺序分成前后两半设序列长度为N=2L，L为整数前半子序列x(n)后半子序列
0≤n≤0≤n≤875.4按频率抽取的基2-FFT算法算法原理再把输出X(5.4.1算法原理由DFT定义得k=0，1，…，N885.4.1算法原理由DFT定义得k=0，1，…，N35由于所以则k=0，1，…，N89由于所以则k=0，1，…，N36然后按k的奇偶可将X(k)分为两部分r=0，1，…，则式可转化为90然后按k的奇偶可将X(k)分为两部分r=0，1，…，则式令n=0，1，…，代入r=0，1，…，可得为2个N/2点的DFT，合起来正好是N点X(k)的值。91令n=0，1，…，代入r=0，1，…，可得为2个N/蝶形运算将称为蝶形运算与时间抽选基2FFT算法中的蝶形运算符号略有不同。92蝶形运算将称为蝶形运算与时间抽选基2FFT算法中的蝶形运算符例按频率抽取(N=8)
例按频率抽取，将N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合(N=8)93例按频率抽取(N=8)例按频率抽取，将N点DFT分与时间抽取法的推导过程一样，由于N=2L，N/2仍然是一个偶数，因而可以将每个N/2点DFT的输出再分解为偶数组与奇数组，这就将N/2点DFT进一步分解为两个N/4点DFT。N=894与时间抽取法的推导过程一样，由于N=2L，5.4.2频率抽取法与时间抽取法的异同
频率抽取法输入是自然顺序，输出是倒位序的；时间抽取法正好相反。频率抽取法的基本蝶形与时间抽取法的基本蝶形有所不同。频率抽取法运算量与时间抽取法相同。频率抽取法与时间抽取法的基本蝶形是互为转置的。
955.4.2频率抽取法与时间抽取法的异同频率抽取法输入是自5.5快速傅里叶逆变换(IFFT)算法IDFT公式DFT公式比较可以看出，IDFT多出M个1/2可分解到M级蝶形运算中。965.5快速傅里叶逆变换(IFFT)算法IDFT公式DFT例频率抽取IFFT流图(N=8)
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